"စပ္မိစပ္ရာ သေဘ္ာ propeller (၂) - Basic Propeller’s Mathematical Analysis, Euler’s equation of motion concept and Propeller's design"

(ေၿပာင္လက္ေနေအာင္ 'သ' ထားတဲ႔၊ propeller blades ေတြရဲ႕၊ မၽက္နွာၿပင္မွာ၊ အကြက္ေလးေတြ၊ အဖတ္ေလးေတြ၊ အစင္းေလးေတြ၊ ၿဖစ္ေအာင္၊ လုပ္ထားတာ၊ ဘာေႀကာင္႔လည္း၊ ဆိုၿပီး၊ ေမးလာႀကသူတိုင္းကို၊ 'vortex superimposition patterns' ေတြ၊ ေပါါေပါက္ေစဖို႔ရယ္လို႔၊ ေၿဖခဲ႔ပါတယ္။

ဒီ post ေလးကေတာ႔၊ Basic Propeller’s Mathematical Analysis, Euler’s equation of motion concept and Propeller's design" ဆိုၿပီး၊ hydro-dynamics ဆိုင္ရာ၊ အယူအဆေတြ၊ အေၿခခံကာ၊ propeller blades ေတြရဲ႕၊ မၽက္နွာၿပင္မွာ၊ အကြက္ေလးေတြ၊ အဖတ္ေလးေတြ၊ အစင္းေလးေတြ၊ ၿဖစ္ေအာင္၊ ၿပဳလုပ္ထားတဲ႔အေႀကာင္းကို၊ ၿပန္လည္၊ ေဖာ္ၿပလိုက္တဲ႔၊ post ၿဖစ္ပါတယ္။)

(Reference, Thanks and image credit to : (1) House, David. J. Dry Docking and Shipboard Maintenance. Witherbys & Co Ltd, London., (2) Hydrex Underwater Technology, 2005., (3) Bindra, S.P. (1978). (4) A Course in Docks and Harbour Engineering. Dhanpat Rai & Sons, Delhi., (5) Lamb's questions and answers on the Marine Diesel Engine, Stanley G. Christensen, John Lamb, 1990., (6) Reed's Naval Architecture Volume IV for marine Engineers Class 1 and Class 2, E.A. Stokoe, 2010 Edition., (7) Marine Propellers and Propulsion, John Charlton, 2nd ed. (2006), (9) Introduction to Naval Architecture, Tupper, E.C, 4th ed. (2004), (10) Euler's Degrees of Vortex,

Remark : All references and images herein this page are for use of educational purpose only. The owner of this page is not responsible for the consequences in case of violation to copyright, trademark, patent, criminal trust of breach or other intellectual property rights of any third party)

"Propeller’s Mathematical Analysis" 

Fixed pitch propeller, Controllable pitch propellers, Azimuth propellers, Vertical axis propellers, Paddle wheels နဲ႔၊ Shrouded propellers ေတြရယ္လို႔၊ အမၽိဳးအစားေတြ၊ ကြဲၿပားေပမယ္႔၊ အသံုးခၽရူပေဗဒ၊ applied physics ပညာရပ္နယ္ပယ္ရဲ႕၊ hydro-dynamics ဆိုင္ရာ၊ ‘Mathematical Analysis’ မွာေတာ႔၊ အားလံုး၊ အတူတူပဲရယ္လို႔၊ သတ္မွတ္ထားတာ၊ ေတြ႔ရပါတယ္။

‘Mathematical Analysis’ အယူအဆ အရ၊ propeller ကို၊ actuator disc တခုအၿဖစ္၊ သတ္မွတ္ထားပါတယ္။ propeller ကို၊ actuator disc တခုအၿဖစ္၊ သတ္မွတ္ၿပီး၊ disc လည္ပတ္မွဳေႀကာင္႔၊ 'ေရ' မွာ၊ axial acceleration ၿဖစ္ေပါါေစတယ္လို႔၊ ယူဆႀကပါတယ္။ disc မွ၊ 'ယက္ထုတ္' လိုက္မယ္႔၊ 'ေရ' ရဲ႕၊ 'အလၽွင္' velocity of water တို႔၊ ဆက္သြယ္ခၽက္ကို၊ "Initial velocity of water and speed of advance of the screw relationship" ဆိုၿပီး၊ Fig. (1) မွာ၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။

"ɑ" ကို၊ axial inflow factor အၿဖစ္၊ ယူဆၿပီး၊ propeller တပါတ္၊ 'လည္' တိုင္း၊ တနည္းအားၿဖင္႔၊ disc တပါတ္၊ 'လည္' တိုင္း၊ သက္ေရာက္မွဳေႀကာင္႔၊ ေပါါေပါက္လာမယ္႔၊ 'ေရ' ရဲ႕၊ 'ထုထည္' ပမာဏ၊ mass of water ကို၊ “M“ ရယ္လို႔၊ သတ္မွတ္ပါတယ္။ mass of water "M" တြက္ယူပံုကို၊ Fig. (2) မွာ၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။ 'နယူတန္' ရဲ႕၊ 'တတိယနိယာမ' အရ၊ propeller မွ၊ ေရကို၊ 'ယက္ထုတ္' လိုက္ၿခင္းေႀကာင္႔၊ thrust force acting ေပါါေပါက္လာၿပီး၊ သေဘ္ာ၊ 'ေရြွ႕လၽား' မွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။

thrust force acting ေႀကာင္႔၊ 'အဟုန္' ဆိုတဲ႔၊ momentum ေပါါေပါက္လာပါတယ္။ momentum ဟာ၊ ထုထည္ mass နဲ႔၊ အလၽွင္ velocity တို႔ရဲ႕၊ 'ေၿမွာက္လဒ္' တနည္းအားၿဖင္႔၊ "Momentum = Mass x Velocity" ရယ္လို႔၊ ယူဆတဲ႔အတြက္၊ momentum မွတဆင္႔၊ Fig. (3) မွာ၊ ေဖာ္ၿပထားသကဲ႔သို႔၊ "thrust" အၿဖစ္၊ ေၿပာင္းလဲ၊ ရယူနိဳင္ပါတယ္။

water column မွာ၊ ၿဖစ္ေပါါလာမယ္႔၊ 'kinetic energy' ကိုလည္း၊ တြက္ခၽက္၊ ရယူနိဳင္ပါတယ္။ 'work done' ဟာ၊ 'kinetic energy' ၿဖစ္တဲ႔၊ အတြက္၊ တနည္းအားၿဖင္႔၊ "Work Done = Kinetic Energy" ဆိုၿပီး၊ သတ္မွတ္ပါတယ္။  disc ရဲ႕၊ ဧရိယာ၊ တဝက္ ‘ɑ = b/ 2’ ပမာဏသာ၊ 'ေရ' နဲ႔၊ ထိေတြ႔ၿပီး၊ 'အလၽွင္' ၿဖစ္ေပါါေစတယ္လို႔၊ ယူဆပါတယ္။ Work done, Useful work done and Total work done ဆိုၿပီး၊ တြက္ခၽက္မွဳတို႔ကို၊ Fig. (4) မွာ၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။ thrust ေႀကာင္႔၊ သေဘ္ာ 'ေရြ႔လၽွား' ခဲ႔ရၿပီး၊ သေဘ္ာကို၊ 'အလၽွင္' ၿဖင္႔၊ ေရြလၽားေစၿခင္းဟာ၊ work done ၿဖစ္ပါတယ္။ water column မွာ၊ ၿဖစ္ေပါါလာမယ္႔၊ 'kinetic energy' ကိုလည္း၊ Fig. (4) မွာ၊ ေဖာ္ၿပထား သလို၊ တြက္ယူနိဳင္ပါတယ္။

"useful work done" ဟာ၊ input ၿဖစ္ၿပီး၊ "total work done" ကေတာ႔၊ output ၿဖစ္ပါတယ္။ efficiency ဟာ၊ input နဲ႔ output တို႔ရဲ႕၊ "အခၽိဳး" ပမာဏ၊ ၿဖစ္တဲ႔အတြက္၊ efficiency ( η ) ကို၊ Fig. (5) မွာ၊ ေဖာ္ၿပထားသလို၊ ေၿပာင္းလဲ၊ ရယူနိဳင္ပါတယ္။  efficiency ( η ) ဟာ၊ 'ideal efficiency' ၿဖစ္ၿပီး၊ ‘ɑ’ ဆိုတဲ႔၊ axial inflow factor ပမာဏ၊ 'ေသးငယ္' တဲ႔အခါ၊ efficiency ပမာဏ၊ ပိုမို၊ 'ႀကီးမား' လာမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။ သေဘ္ာရဲ႕ speed နဲ႔၊ thrust ပမာဏ၊ 'မၽားၿပား' ေစရန္၊ disc သို႔မဟုတ္၊ propeller မွ၊ ယက္ထုတ္လိုက္မယ္႔၊ 'ေရ' ရဲ႕၊ 'အလၽွင္' velocity ပမာဏ၊ မၽားရန္၊ လိုအပ္ပါတယ္။

အထက္မွာ၊ ေရးသားေဖာ္ၿပခဲ႔တာေတြဟာ၊ axial velocity အေနနဲ႔သာ၊ အေၿခခံ၊ စဥ္းစားခဲ႔တာၿဖစ္ၿပီး၊ propeller ဟာ၊ လည္ပတ္ရင္း၊ 'ေရြ႕လၽား' တဲ႔အတြက္၊ ( ἀ ) ဆိုတဲ႔ 'rotational inflow factor' ကိုပါ၊ ထည္႔သြင္း စဥ္းစားရန္၊ လိုအပ္လာပါတယ္။ အဲဒီအခါ၊ လည္ပတ္မွဳေႀကာင္႔ ေပါါေပါက္လာမယ္႔ rotational velocity အၿဖစ္၊ စဥ္းစားႀကည္႔ၿခင္းမွ၊ 'overall efficiency ( η )' ကို၊ ရရိွလာပါတယ္။

'Mathematical Analysis' မွာ၊ propeller ကို၊ actuator disc တခုအၿဖစ္သာ၊ စဥ္းစားၿပီး၊ propeller 'လည္ပတ္' ကာ၊ 'ယက္ထုတ္' လိုက္ၿခင္းေႀကာင္႔၊ propeller blades ေတြအႀကားမွာ၊ ၿဖစ္ေပါါလာမယ္႔၊ hydro-dynamics losses ေတြကို၊ ထည္႔သြင္း၊ တြက္ခၽက္မွဳ၊ မၿပဳပဲ၊ 'လစ္လၽဴရွဳ' ထားတာကို၊ ေတြ႔ရမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။  လက္ေတြ႔မွာေတာ႔၊ propeller 'လည္ပတ္' တဲ႔အခါ၊ blades တိုင္းဟာ၊ thrust ကို၊ ၿဖစ္ေပါါေစသလို၊ angular acceleration နဲ႔၊ perpendicular distance ေတြေႀကာင္႔၊ torque ကိုလည္း၊ ေပါါေပါက္ေစပါတယ္။

Propeller's Designs ေတြ၊ ေရးဆြဲတဲ႔အခါ၊ Hydro-dynamics သို႔မဟုတ္၊ Fluids Mechanics ဘာသာရပ္မွ၊ Reynolds’s Equation of Motion, Navier- Strokes Equation, Euler Equation of Motion နဲ႔၊ Eulers Degrees of Vortex အစရိွတဲ႔၊ theory ေတြကို၊ ကၽယ္ၿပန္႔စြာ၊ ကိုးကားရန္၊ လိုအပ္ပါတယ္။

cavitation နဲ႔ wake ကဲ႔သို႔၊ hydro-dynamics ဆိုင္ရာ၊ အတားအဆီးေတြဟာ၊ boss diameter ratio ႀကီးတဲ႔၊ screw propeller ေတြရဲ႕၊ efficiency ကို၊ ကၽဆင္းေစပါတယ္။ CPP ဆိုတဲ႔ controllable pitch propeller ဟာ၊ boss diameter ratio (Db/ D) ႀကီးမားတဲ႔အတြက္၊ သေဘ္ာရဲ႕ maneuverability ကို၊ ပိုေကာင္းမြန္ေစေပမယ္႔၊ overall Efficiency (η) ကေတာ႔၊ FPP ဆိုတဲ႔၊ fixed pitch propeller နဲ႔၊ နိွဳင္းယွဥ္ႀကည္႔လၽွင္၊၊ ပိုမို၊ 'နည္းပါး' တာ၊ ေတြ႔ရပါတယ္။ CPP ရဲ႕၊ boss diameter ratio (DB/ D) ဟာ၊ 0.24 ~ 0.32D အခၽိဳးအဆ၊ ပမာဏခန္႔၊ ရိွၿပီး၊ FPP ရဲ႕၊ boss diameter ratio (DB/ D) ကေတာ႔၊ 0.16 ~ 0.25 အခၽိဳးအဆ၊ ပမာဏခန္႔၊ ရိွပါတယ္။

propeller slip ကို၊ Fig. (6) မွာ၊ ေဖာ္ၿပထားသလို၊ သတ္မွတ္ပါတယ္။ pitch ဆိုတာကေတာ႔၊ X - axis ဝင္ရိုးေပါါမွာ၊ propeller တပါတ္လည္တိုင္း၊ ေရြ႕လၽားမယ္႔၊ 'အကြာအေဝး' distance ၿဖစ္ပါတယ္။ သေဘ္ာ propeller ဟာ၊ 'ေရ' ထဲမွာ၊ လည္ပတ္ရတဲ႔အတြက္၊ 'ေရ' ရဲ႕၊ တြန္းအားေႀကာင္႔၊ slip ၿဖစ္ေပါါလာၿပီး၊ propeller ရဲ႕၊ speed ကို၊ ကၽဆင္းေစပါတယ္။

propeller pitch-diameter ratio (P/ D) ကို၊ Fig. (7) မွာ၊ ေဖာ္ၿပထားတဲ႔၊ "Bp - δ diagram" မွ၊ ရယူနိဳင္ပါတယ္။ Bp နဲ႔ δ ကို၊ တြက္ယူတဲ႔အခါ၊ N = the revolution of the engine at an optimum condition favorable for the propeller operation, PD = the engine delivered horse power, VA = speed of advance, D = diameter of the propeller အစရိွတဲ႔၊ prime mover မွ၊ အခၽက္အလက္ေတြကို၊ ထည္႔သြင္း၊ စဥ္းစားရန္၊ လိုအပ္ပါတယ္။

Bp နဲ႔ δ ကို၊ တြက္ယူၿပီးတဲ႔အခါ၊ 'Bp - δ' diagram မွ၊ open water efficiency တန္ဘိုးနဲ႔၊ pitch diameter ratio (P/ D) တန္ဘိုးတို႔ကို၊ ေရြးခၽယ္၊ ရယူနိဳင္ပါတယ္။ pitch diameter ratio (P/ D) တန္ဘိုးကို၊ မွန္ကန္စြာ၊ ေရြးခၽယ္ရန္၊ လိုအပ္ပါတယ္။ အကယ္၍၊ မွားယြင္း၊ ေရြးခၽယ္မိလၽွင္၊ engine ရဲ႕ output power နဲ႔၊ speed တန္ဘိုးၿခင္း၊ တူညီေပမယ္႔၊ propeller diameter နဲ႔၊ pitch တန္ဘိုး၊ ပိုမိုႀကီးမားတဲ႔၊ သေဘ္ာမွာ၊ engine over load ၿဖစ္ေပါါနိဳင္ပါတယ္။

propeller blade ရဲ႕ thickness ကို၊ တြက္ယူတဲ႔အခါ၊ "Taylor's method" ကို၊ အသံုးၿပဳႀကပါတယ္။ Fig. (8) မွာ၊ propeller blade ရဲ႕၊ thickness တြက္ယူတဲ႔၊ ပံုေသနည္းကို၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။ Taylor's method အရ၊ propeller strength calculation ကိုလည္း၊ တြက္ခၽက္နိဳင္သလို၊ 'Classification Societies' ေတြကလည္း၊ propeller အတြက္၊ အသံုးၿပဳမယ္႔၊ material properties ေတြနဲ႔၊ ပက္သက္ၿပီး၊ သတ္မွတ္ ေပးထားပါတယ္။

Classification Society တခုၿဖစ္တဲ႔၊ DNV (Det Norske Veritas) မွ၊ သတ္မွတ္၊ ထားတာကေတာ႔၊ (i) - Propeller Material (Cast steel) = Minimum ultimate tensile stress 41 kg/mm2 = Minimum Elongation 20 %, (ii) - Propeller Material (Special propeller bronze) = Minimum ultimate tensile stress 45 kg/mm2 = Minimum Elongation 20 %, (iii) - Propeller Material (Ni - Al - bronze) = Minimum ultimate tensile stress 60 kg/mm2 = Minimum Elongation 16 %, (iv) - Propeller Material (Nodular cast iron, heat treated) = Minimum ultimate tensile stress 40 kg/mm2 = Minimum Elongation 15 %, (v) - Propeller Material (Nodular cast iron, not heat treated) = Minimum ultimate tensile stress 40 kg/mm2 = Minimum Elongation 3 %, (vi) - Propeller Material (Special cast iron) = Minimum ultimate tensile stress 55 kg/mm2 = Minimum Elongation 8 %, (vii) - Propeller Material (Ordinary cast iron) = Minimum ultimate tensile stress 24 kg/mm2 = Minimum Elongation 0 % နဲ႔၊ (viii) - Propeller Material (Gun metal) = Minimum ultimate tensile stress 14 kg/mm2 = Minimum Elongation 8 % တို႔၊ ၿဖစ္ပါတယ္။

ဒါ႔အၿပင္ reciprocating engine, turbine နဲ႔၊ diesel electric အမၽိဳးအစား၊ အစရိွသလို၊ တြဲဖက္၊ အသံုးၿပဳမယ္႔၊ prime mover ရဲ႕၊ အခၽက္အလက္ေတြ၊ အပါအဝင္၊ တတ္ဆင္မယ္႔၊ propeller ဟာ၊ single screw သို႔မဟုတ္၊ twin screw အစရိွတဲ႔၊ အခၽက္အလက္ေတြအေပါါ၊ မူတည္ၿပီး၊ propeller blade material ရဲ႕၊ density နဲ႔ design stress တို႔မွာ၊ ကြာၿခားမွဳရိွတာ၊ ေတြ႔ရပါတယ္။

"Euler’s equation of motion"

propeller blades ေတြဟာ၊ hub အေပါါမွာ၊ pitch ဆိုတဲ႔၊ အေစာင္းဒီဂရီ၊ တခုၿဖင္႔၊ တည္ရိွေနပါတယ္။ 'blade tip' ဆိုတာကေတာ႔၊ propeller hub ရဲ႕၊ 'အလယ္ဗဟို' center မွ၊ propeller blade ရဲ႕၊ 'ထိပ္ဖက္' အဆံုး၊ maximum reach out လို႔ေခါါတဲ႔၊ အမၽားဆံုး၊ 'အကြာအေဝး' ၿဖစ္ပါတယ္။  သေဘ္ာဖက္သို႔၊ ေစာင္းကာ၊ 'ေကြး' ေနတဲ႔ blade edge ကို၊ 'leading edge' လို႔ေခါါၿပီး၊ သေဘ္ာရဲ႕၊ အၿပင္ဖက္သို႔၊ ေစာင္းကာ၊ 'ေကြး' ေနတဲ႔၊ blade edge ကိုေတာ႔၊ 'trailing edge' လို႔ေခါါပါတယ္။ Fig. (9) မွာ၊ "Propeller blade tip and leading edge" ဆိုၿပီး၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။

သေဘ္ာဖက္မွာ၊ ရိွေနတဲ႔၊ blade မၽက္နွာၿပင္ surface ကို၊ 'blade back' လို႔ေခါါၿပီး၊ propeller ရဲ႕၊ suction pressure သို႔မဟုတ္၊ negative pressure side လည္း၊ ၿဖစ္ပါတယ္။ cavitation ဟာ၊ negative pressure side ၿဖစ္တဲ႔၊ blade back မွာသာ၊ ၿဖစ္ေပါါပါတယ္။ သေဘ္ာရဲ႕၊ အၿပင္ဖက္မွ၊ blade မၽက္နွာၿပင္၊ surface ကေတာ႔၊ 'blade face' ၿဖစ္ၿပီး positive pressure side ၿဖစ္ပါတယ္။ Fig. (10) မွာ၊ "Propeller suction pressure side" ဆိုၿပီး၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။ propeller hub နဲ႔၊ တြဲဆက္ထားတဲ႔ blade ရဲ႕၊ 'ေအာက္ေၿခ' ပိုင္းကို၊ 'blade root' လို႔ေခါါၿပီး၊ blade root နဲ႔ hub အႀကားမွ၊ transition region ကိုေတာ႔၊ 'fillet' လို႔ေခါါပါတယ္။

'Euler’s equation of motion' ဟာ၊ fluid dynamics ဘာသာရပ္မွ၊ သေဘ္ာ propellers ေတြနဲ႔၊ ပက္သက္ၿပီး၊ ကိုးကားရတဲ႔၊ equation ၿဖစ္ပါတယ္။ forces ေႀကာင္႔၊ ၿဖစ္ေပါါလာတဲ႔၊ fluid flow အတြင္း၊ velocity ဆိုတဲ႔၊ 'အလၽွင္' နဲ႔၊ acceleration ဆိုတဲ႔၊ 'အရိွန္' တို႔၊ ၿဖစ္ေပါါမွဳမွတဆင္႔၊ ေလ႔လာ၊ အသံုးခၽၿခင္းလည္း၊ ၿဖစ္ပါတယ္။

'နယူတန္ရဲ႕၊ ဒုတိယနိယာမ' အရ၊ 'X' direction လို႔ေခါါတဲ႔၊ 'X" axis မွာ၊ ေပါါေပါက္လာတဲ႔၊ force ဟာ၊ fluid element ရဲ႕၊ ထုထည္၊ mass နဲ႔၊ fluid ရဲ႕၊ အရိွန္ acceleration တို႔ကို၊ 'ေၿမွာက္ၿခင္း' နဲ႔၊ ညီမၽွပါတယ္။ fluid motion အတြင္းမွာ၊ gravity forces, pressure force, viscous force, turbulence force နဲ႔၊ compressibility force တို႔၊ ပါဝင္ၿပီး၊ net force ဟာ၊ flow ၿဖစ္ေပါါေစတဲ႔၊ forces အားလံုးရဲ႕၊ ေပါင္းလဒ္ ၿဖစ္ပါတယ္။ .

compressibility force ကေတာ႔၊ negligible အေနနဲ႔၊ လၽွစ္လၽဴရွဳထားလို႔၊ ရပါတယ္။ Fig. (11) မွာ၊ "Propeller’s net force" ဆိုၿပီး၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။ compressibility force ထည္႔သြင္းတြက္ခၽက္ၿခင္း၊ မရိွတဲ႔၊ ပံုေသနည္းကို၊ 'Reynolds’s Equation of Motion' လို႔ေခါါပါတယ္။ အလားတူ၊ turbulence force ကိုပါ၊ ထပ္မံ၊ လၽစ္လၽဴရွဳနိဳင္ၿပီး၊ ထည္႔သြင္းတြက္ခၽက္ၿခင္း၊ မရိွတဲ႔၊ ပံုေသနည္းကို၊ 'Navier- Strokes Equation' လို႔၊ ေခါါပါတယ္။ 'Navier- Strokes Equation' မွ၊ viscous force ကို၊ (0) အေနနဲ႔၊ ယူဆတဲ႔၊ ပံုေသနည္းကေတာ႔၊ 'Euler’s equation of Motion' ၿဖစ္ပါတယ္။

'Euler’s equation of Motion' မွာ၊ gravity နဲ႔ pressure force တို႔ကိုသာ၊ ထည္႔သြင္း၊ စဥ္းစားပါတယ္။ stream line flow အတြင္းမွ၊ fluid element ရဲ႕၊ motion ကိုသာ၊ တြက္ခၽက္ၿခင္းလို႔၊ ဆိုနိဳင္ပါတယ္။ flow direction 's' မွ၊ fluid element ရဲ႕၊ 'resultant flow' ဟာ၊ flow direction 's' မွ၊ fluid ရဲ႕၊ mass နဲ႔၊ acceleration တို႔၊ 'ေၿမွာက္ၿခင္း' နဲ႔၊ ညီမၽွပါတယ္။ Fig. (12) မွာ၊ "Euler’s equation of Motion" ဆိုၿပီး၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။

'ေရ' ဟာ၊ non-viscous fluid ၿဖစ္ပါတယ္။ non-viscous fluid ဟာ၊ 'velocity' တန္ဖိုးအေနနဲ႔၊ (0) ပမာဏသာ၊ ရိွၿပီး၊ 'stagnation points' အၿဖစ္၊ သတ္မွတ္ပါတယ္။ အဲဒီအခါ၊ အဆံုး 'မဲ႔' ၿပီး၊ ႀကီးမားတဲ႔၊ infinitely long circular cylinder အတြင္းမွ၊ non-viscous fluid ရဲ႕၊ 'resultant force' တန္ဘိုးကိုလည္း၊ (0) အၿဖစ္သာ၊ ရရိွလာပါတယ္။

propeller blade ရဲ႕၊ external boundary ကို၊ Mathematical Geometry အသံုးအနံွဳးအေနနဲ႔၊ 'shape' လို႔၊ ေခါါၿပီး၊ Hydro-Dynamics အသံုးအနံွဳးအရ၊ 'aerofoil' လို႔ေခါါပါတယ္။ 'aerofoil' ဟာ၊ propeller blade ရဲ႕၊ external boundary လည္းၿဖစ္ပါတယ္။ propeller လည္ပတ္မွဳ၊ 'မရိွ' စဥ္၊ aerofoil တဝိုက္မွာ flow ဟာ၊ stream အၿဖစ္၊ direction တခုနဲ႔သာ၊ စီးဆင္းပါတယ္။ non-viscous fluid ရဲ႕၊ flow ၿဖစ္ၿပီး၊ circulation အေနနဲ႔၊ စီးဆင္းမွဳ၊ 'မရိွ' တဲ႔အတြက္၊ velocity ဟာ၊ stagnation point အေနနဲ႔သာ၊၊ တည္ရိွေနမွာ၊ ၿဖစ္သလို၊ 'aerofoil' မွာ၊ ၿဖစ္ေပါါလာမယ္႔၊ 'resultant force' တန္ဘိုးကိုလည္း၊ (0) အၿဖစ္သာ၊ ရရိွလာပါတယ္။

အကယ္၍၊ propeller လည္ပတ္ၿပီး၊ aerofoil တဝိုက္မွာ၊ flow ဟာ၊ circulation အၿဖစ္၊ စီးဆင္းတဲ႔အခါ၊ vortex superimposition patterns ေတြ၊ ေပါါေပါက္လာမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။ 'vortex superimposition pattern' ဟာ၊ aerofoil ရဲ႕၊ အလယ္ဗဟို၊ center မွာ၊ ေပါါေပါက္ပါတယ္။

flow circulation ရဲ႕၊ strength တနည္းအားၿဖင္႔၊ vortex superimposition pattern ဟာ၊ propeller blade မွ၊ trailing edge ဆိုတဲ႔၊ aerofoil ရဲ႕၊ 'section shape' ေတြနဲ႔၊ 'incidence angle' တို႔အေပါါ၊ မူတည္ပါတယ္။ Fig. (13) မွာ၊ "Aerofoil flow pattern" ဆိုၿပီး၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။

flow circulation ရဲ႕၊ strength ကို၊ 'lift' လို႔ေခါါၿပီး၊ lift force ဟာ၊ aerofoil ရဲ႕၊ face နဲ႔၊ back တနည္းအားၿဖင္႔၊ blade face နဲ႔ blade back တို႔ရဲ႕၊ pressure difference မွတဆင္႔၊ ၿဖစ္ေပါါလာသလို၊ fluid viscosity ေႀကာင္႔၊ ပမာဏေသးငယ္တဲ႔၊ drag force လည္း၊ ေပါါေပါက္လာပါတယ္။ aerofoil အေပါါမွ၊ flow past နဲ႔၊ circulation flow တို႔ဟာ၊ blade back မွ၊ "velocity" ကို၊ 'တိုးၿမင္႔' ေစၿပီး၊ blade face မွ၊ "velocity" ကိုေတာ႔၊ 'ေလၽွာ႔ကၽ' ေစပါတယ္။

"Bernoulli’s principle" အရ၊ aerofoil အေပါါမွ၊ flow past နဲ႔၊ circulation flow effect တို႔ေႀကာင္႔၊ blade back မွာ၊ "pressure" 'ေလၽွာ႔ကၽ' သြားၿပီး၊ blade face မွာေတာ႔၊ "pressure" 'တိုးၿမင္႔' လာမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။ Fig. (14) မွာ၊ "Force in “aerofoil" ဆိုၿပီး၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။

blade back နဲ႔ blade face တို႔ရဲ႕၊ pressure distributions ေတြဟာ၊ aerofoil ရဲ႕၊ total lift အေပါါ၊ သက္ေရာက္မွဳ၊ ရိွေနပါတယ္။ pressure distributions တခုၿဖစ္တဲ႔၊ blade back မွ၊ pressure ကို increase အေနနဲ႔၊ 'ၿမွင္႔တင္' မွသာ၊ lift force 'တိုးၿမင္႔' လာမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။

လက္ေတြ႔မွာေတာ႔၊ aerofoil ရဲ႕၊ span ကို၊ tips အတြင္း၊ တိကၽတဲ႔၊ finite area တန္ဘိုး တခုၿဖင္႔၊၊ ဖြဲ႔စည္း၊ တည္ေဆာက္ထားပါတယ္။ finite area ေႀကာင္႔၊ blade tips မွာ၊ tendency သို႔မဟုတ္၊ prevailing movement အေနနဲ႔၊ ဆန္႔ကၽင္ဖက္ pressure ၿဖစ္ေပါါလာပါတယ္။ ဆန္႔ကၽင္ဖက္ pressure ေႀကာင္႔၊ blade face နဲ႔ blade back မွာ၊ မူလ pressure ထက္၊ ပိုမို၊ 'ၿမင္႔မား' တဲ႔၊ flow past ေပါါေပါက္လာသလို၊ ေပါါေပါက္လာတဲ႔၊ flow past ေႀကာင္႔၊ span area ရဲ႕၊ အဆံုးမွ flow ရဲ႕၊ lift ဟာလည္း၊ 'တိုးၿမင္႔' လာပါတယ္။

"Propeller Designs" 

blades တခုနဲ႔၊ တခုအႀကားမွာ၊ 'interference effect' ရိွေနၿပီး၊ blade ရဲ႕၊ face နဲ႔ back မွ၊ blade tip ေတြမွာ၊ ရိွေနမယ္႔ flow circulation ရဲ႕၊ strength တနည္းအားၿဖင္႔၊ vortex superimposition pattern ေႀကာင္႔၊ blade region အတြင္းမွာ၊ lift force နဲ႔ drag force ေတြ၊ ေပါါေပါက္ေနမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။ propeller hub ရဲ႕၊ 'အလယ္ဗဟို' center မွ၊ propeller blade ရဲ႕၊ 'ထိပ္ဖက္' အဆံုး၊ maximum reach out လို႔ေခါါတဲ႔၊ အမၽားဆံုး၊ 'အကြာအေဝး' ၿဖစ္တဲ႔၊ blade tip ရဲ႕၊ vortex ကို၊ modify ၿပဳလုပ္ၿခင္းၿဖင္႔၊ blades ေတြရဲ႕၊ lift force နဲ႔ drag force ေတြကို၊ 'တိုးၿမွင္႔' ယူနိဳင္ပါတယ္။

propeller 'လည္ပတ္' ၿခင္းေႀကာင္႔၊ ေပါါေပါက္လာတဲ႔၊ axial နဲ႔ rotational in flow factors ေတြကလည္း၊ blades ေတြရဲ႕၊ span တနည္းအားၿဖင္႔၊ aerofoils ေတြရဲ႕၊ span အတြင္း၊ တိကၽတဲ႔ finite area တန္ဘိုး၊ ပမာဏတခု၊ ၿဖစ္ေပါါေစၿပီး၊ lift force ကို၊ 'တိုးၿမွင္႔' ေပးမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။

တနည္းအားၿဖင္႔၊ propeller 'လည္ပတ္' စဥ္၊ aerofoils ေတြရဲ႕၊ span အတြင္းမွာ၊ ေပါါေပါက္လာမယ္႔၊ flow circulation ရဲ႕၊ strength တနည္းအားၿဖင္႔၊ vortex superimposition patterns ေတြ၊ ၿဖစ္ေပါါေစကာ၊ lift force 'တိုးၿမွင္႔' ေပးၿခင္း၊ ၿဖစ္သလို၊ propeller ရဲ႕၊ 'resultant force' တန္ဘိုးပမာဏ၊ 'ၿမွင္႔တင္' ယူၿခင္းလည္း၊ ၿဖစ္ပါတယ္။

vortices strength ေၿပာင္းလဲေပးမယ္႔၊ flow circulation ရဲ႕၊ strength တနည္းအားၿဖင္႔၊ vortex superimposition pattern ေတြ၊ ၿဖစ္ေပါါၿခင္းမွတဆင္႔၊ lift force 'တိုးၿမွင္႔' ေပးရန္အတြက္၊ aerofoil ရဲ႕၊ ပံုသ႑န္အေပါါ၊ မူတည္ၿပီး၊ propeller blades ေတြကို၊ (i) lifting line model, (ii) lifting surface model, (iii) surface vorticity model နဲ႔၊ (iv) vortex lattice model ဆိုၿပီး၊ ဖြဲ႔စည္း၊ တည္ေဆာက္ထားတာ၊ ေတြ႔ရပါတယ္။

(i) - "Lifting line model" - single bound vortex ေႀကာင္႔၊ radial circulation ေပါါေပါက္ကာ၊ vortices strength ေၿပာင္းလဲေပးမယ္႔၊ aerofoil ရဲ႕၊ ပံုသ႑န္ကို၊ 'lifting line model' လို႔ေခါါၿပီး၊ (၁၉၅၂) နွစ္ခန္႔မွ၊ စတင္ကာ၊ အသံုးၿပဳခဲ႔ပါတယ္။ single bound vortex အၿဖစ္၊ 'အခၽပ္' လိုက္၊ ကန္႔လန္႔ၿဖတ္၊ 'ထပ္' ထားတဲ႔၊ ပံုသ႑န္ရိွပါတယ္။ Fig. (15) မွာ၊ radial circulation ေႀကာင္႔၊ ေပါါေပါက္လာမယ္႔၊ vortices strength ေတြကို၊ propeller ရဲ႕၊ trilling edges ေတြမွာ၊ trilling vortex ေတြအၿဖစ္၊ ေတြ႔ၿမင္ရမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။

propeller blade ေပါါမွ၊ radial line ဟာ၊ 'lifting line' ၿဖစ္ပါတယ္။ propeller ရဲ႕ blade surface မၽက္နွာၿပင္ကို၊ leading edge ဖက္မွ၊ လက္ၿဖင္႔၊ ကိုင္တြယ္၊ စမ္းႀကည္႔လၽွင္၊ ရုတ္တရက္၊ 'ၿမင္႔' တက္သြားမယ္႔၊ 'lifting line' ကို၊ သိသိသာသာ၊ ထိေတြ႔မိမွာ၊ ၿဖစ္သလို၊ trilling edge ဖက္မွာေတာ႔၊ 'ေၿပေလၽွာ႔' ကာ၊ နိမ္႔ဆင္းသြားၿခင္းကို၊ သိသိသာသာ၊ ထိေတြ႔မိမွာ ၿဖစ္ပါတယ္။

(ii) - "Lifting surface model" - infinitely thin bound vortex sheet 'အခၽပ္' ေလးေတြၿဖင္႔၊ vortices strength ေၿပာင္းလဲေပးမယ္႔၊ aerofoil ရဲ႕၊ ပံုသ႑န္ကို၊ 'lifting surface model' လို႔ေခါါၿပီး၊ (၁၉၈၀) နွစ္ခန္႔မွ၊ စတင္ကာ၊ အသံုးၿပဳခဲ႔ပါတယ္။ infinitely thin bound vortex sheet 'အခၽပ္' ေလးေတြကို၊ တခုနဲ႔တခု အလိုက္သင္႔၊ ဆက္စပ္ကာ၊ 'ထပ္' ထားတဲ႔၊ ပံုသ႑န္ၿဖင္႔၊ ဖြဲ႔စည္းထားပါတယ္။ Fig. (16) မွာ၊ thin bound vortex sheet ေတြေႀကာင္႔၊ ၿဖစ္ေပါါလာမယ္႔ vortices strength ေတြကို၊ propeller ရဲ႕၊ trilling edges ေတြမွာ၊ trilling vortex ေတြအေနနဲ႔၊ ေတြ႔ၿမင္ရမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။

propeller blade ေပါါမွ၊ trilling edges ေတြဟာ၊ 'lifting line' ၿဖစ္ပါတယ္။ propeller ရဲ႕ blade surface မၽက္နွာၿပင္ကို၊ leading edge ဖက္မွ၊ လက္ၿဖင္႔၊ ကိုင္တြယ္၊ စမ္းႀကည္႔လၽွင္၊ trilling edge ဖက္သို႔၊ 'အခၽပ္' ေလးေတြ၊ အထပ္အထပ္ၿဖင္႔၊ 'ေၿပေလၽွာ႔' ကာ၊ နိမ္႔ဆင္းသြားၿခင္းကို၊ သိသိသာသာ၊ ထိေတြ႔မိမွာ ၿဖစ္ပါတယ္။

(iii) - "Surface vorticity model" - vortices 'အကြက္' ေတြၿဖင္႔၊ vortices strength ေၿပာင္းလဲေပးမယ္႔၊ aerofoil ရဲ႕၊ ပံုသ႑န္ကို၊ 'surface vorticity model' လို႔ေခါါၿပီး၊ (၁၉၉၀) ခုနွစ္ခန္႔မွ၊ စတင္ကာ၊ အသံုးၿပဳခဲ႔ပါတယ္။ infinitely thin bound vortex sheet 'အခၽပ္' ေလးေတြကို၊ တခုနဲ႔တခု အလိုက္သင္႔၊ ဆက္စပ္ကာ၊ 'ထပ္' မထားပဲ၊ vortices ေတြအၿဖစ္၊ section အလိုက္၊ 'အကြက္' ေဖာ္ထားတဲ႔၊ ပံုသ႑န္ၿဖင္႔၊ ဖြဲ႔စည္းထားပါတယ္။

'အကြက္' လိုက္၊ ရိွေနတဲ႔ vortices ဆိုတဲ႔၊ vortex sheet ေတြမွတဆင္႔၊ vortices strength ကို၊ propeller ရဲ႕ trilling edges ေတြမွာ၊ trilling vortex ေတြအၿဖစ္၊ ရရိွပါတယ္။ polished အေနနဲ႔၊ 'သ' ထားတဲ႔ propeller ရဲ႕၊ blade surface မၽက္နွာၿပင္ကို၊ 'ငါးအေႀကးခံြ' အကြက္ပံုသ႑န္၊ မၽက္နွာၿပင္အၿဖစ္၊ ေတြ႔ၿမင္ရမွာ ၿဖစ္ပါတယ္။ Fig. (17) မွာ၊ 'surface vorticity model propeller blade' ကို၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။

(iv) - "Vortex lattice model" - vortices 'အကြက္' ေတြၿဖင္႔၊ vortices strength ေၿပာင္းလဲေပးမယ္႔၊ aerofoil ရဲ႕၊ အၿခားပံုသ႑န္၊ တခုကိုေတာ႔၊ 'vortex lattice model' လို႔ေခါါၿပီး၊ (၂၀၀၀) ခုနွစ္ခန္႔မွ၊ စတင္ကာ၊ အသံုးၿပဳခဲ႔ႀကပါတယ္။ propeller blade အေပါါမွာ၊ radial line ဆိုတဲ႔၊ lifting lines ေတြ၊ ထည္႔သြင္းထားၿပီး၊ lifting lines ေတြအတြင္းမွာေတာ႔၊ infinitely thin bound vortex sheet 'အခၽပ္' ေလးေတြကို၊ vortices ေတြအၿဖစ္၊ section အလိုက္၊ 'အကြက္' ေဖာ္ထားမယ္႔၊ ပံုသ႑န္ၿဖင္႔၊ ဖြဲ႔စည္းထားပါတယ္။

radial lines ေတြအတြင္းမွ၊ 'အကြက္' လိုက္၊ ရိွေနမယ္႔၊ vortices ေတြမွ တဆင္႔၊ vortices strength ကို၊ propeller ရဲ႕ trilling edges ေတြမွာ၊ trilling vortex ေတြအေနနဲ႔၊ ရရိွလာမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။ Fig. (18) မွာ၊ 'vortex lattice model propeller blade' ကို၊ ဥပမာအၿဖစ္၊ ေဖာ္ၿပထားပါတယ္။

propeller ရဲ႕၊ blade surface မၽက္နွာၿပင္ကို၊ leading edge ဖက္မွ၊ လက္ၿဖင္႔၊ ကိုင္တြယ္၊ စမ္းႀကည္႔လၽွင္၊ ရုတ္တရက္၊ 'ၿမင္႔' တက္သြားမယ္႔၊ 'lifting line' ကို၊ သိသိသာသာ၊ ထိေတြ႔မိမွာ၊ ၿဖစ္သလို၊ trilling edge ဖက္မွာေတာ႔၊ 'ေၿပေလၽွာ႔' ကာ၊ နိမ္႔ဆင္းသြားၿပီး၊ 'ငါးအေႀကးခံြ' အကြက္ပံုသ႑န္၊ vortices ေတြကိုလည္း၊ သိသိသာသာ၊ 'ထိ' မိမွာ၊ ၿဖစ္ပါတယ္။